1.2.07

Infinitos elásticos

Tengo que pedirte que me dejes hablar hoy de matemáticas, porque querría esconderme en alguna parte (no preguntes, cosas que pasan) y ofrecen un refugio estupendo con un montón de sitio (infinito, je je) para correr y montones de cosas estupendas que admirar. Ya sé que casi todo el mundo opina que las matemáticas son un horror, pero dame un voto de confianza, leñe.

En cualquier caso si te aburres siempre puedes ir al fotoblog y distraerte con alguna foto.

Al tema: Hace no mucho hablaba con un grupo de gente que, enterados de que yo soy matemático, comenzaron a preguntarme cosas sobre el infinito; ¿cuál es el número conocido más cercano al infinito?, ¿qué pasa si a infinito le restas uno?, y cosas así. Estábamos en un bar, o camino de un bar, y en fin, no andaba yo muy despierto, y las respuestas de rigor a esas preguntas (respectivamente, no puede conocerse un número más cercano que ningún otro a infinito, porque entonces sería cosa de sumarle uno y ya tendrías otro mayor, al que podrías sumar otro, etcétera, y si a infinito le restas uno sigue quedando infinito) no suelen ser muy satisfactorias para la curiosidad de nadie. Así que ahora que estamos aquí relajados y prometiéndote que ni las matemáticas son aburridas ni te va a pasar nada porque sigas leyendo, voy a hablar un poco sobre el infinito, o los infinitos, ¿vale?

El problema que mucha gente tiene con el infinito, que produce preguntas que a nosotros los metidos en lo hermético nos parecen infantiles por deformación profesional, es un problema de concepto. La gente piensa en el infinito como si fuese un número más, cuando no lo es; "infinito" es un concepto. Infinito es una abstracción a la que se llega cuando uno pilla el truco a la suma y se aburre de sumar. Me imagino al primer matemático que filosofase al respecto comenzando a contar piedrecitas (o granos de arena, o nubes, o hormigas, o estrellas). Cogiendo (o mirando, o imaginando coger) la primera, "una", añadiendo otra, "dos", siguiendo así un rato, "cincuenta y seis, cincuenta y siete, ... doscientas mil ochocientas cuarenta y tres, doscientas mil ochocientas cuarenta y cuatro"... al final, eventualmente, en función de su pereza o su inteligencia o su capacidad de abstacción, comprendería que podría seguir así indefinidamente, que habría un momento en el que habría demasiadas como para contarlas, que siempre podría seguir sumando y nunca llegaría a un tope, un techo.

Ese tope, ese techo al que no se puede llegar a base de sumar es el infinito: Ese número que nunca vas a encontrarte sumando. Por poner una metáfora, el infinito es, para un matemático, como el horizonte lo es para un viajero (metáfora que no es rigurosamente cierta, aunque para lo que voy a contar aquí nos sirve (1)); uno puede comenzar a caminar hacia él, en cualquier dirección, y siempre lo verá en el mismo sitio, y nunca lo alcanzará, porque según vaya avanzando se irá acercando a las cosas pero nunca al horizonte.

Los griegos ya filosofaban con respecto al infinito, y contaban cosas que eran infinitas sin mayor problema (como la cantidad de números primos, que demostraron que tenía que ser infinita (2)). El problema vino cuando los matemáticos se pusieron a contar dentro de conjuntos infinitos, porque los matemáticos somos gente muy echá p'alante y no nos asustamos a la hora de ponernos a contar inmensidades siempre que tengamos un truco con el que hacer trampa y saltarnos la parte coñazo. La idea es que si ya tienes contado algo, como los números naturales (que son los que se tienen cuando se parte del uno y de la suma, es decir, 1, 2, 3, 4, etc) y sabes que eso es infinito entonces si a cada elemento de un conjunto le puedes asociar un elemento de tu conjunto conocido entonces esos dos conjuntos tienen los mismos elementos. Si cada asignación es rigurosa, es decir, no repites números para ningún elemento y tienes números para todos los elementos, entonces tienen el mismo número de, hmmm, cosas.

Venga, vamos a contar un rato. Contamos, por ejemplo, el cardinal (o sea el número de elementos que tiene) del conjunto de números primos. A primera vista, deberían salirnos menos primos que números naturales, porque quieras que no hay menos primos que números naturales, obviamente; de 1 a 10 hay 4 primos y 10 números, y cuanto más subes menos proporción de primos hay. Pero lo genial de la idea es que ¡da igual que haya más naturales! Podemos numerar los primos; al primer número primo, 2 le pegamos una pegatina con un uno. Al segundo, 3, una con un 2. Como hay infinitos primos, siempre podremos encontrar uno que lleve una cierta pegatina. Como podemos ordenarlos, cada uno tendrá sólo una pegatina. Entonces, aunque sean menos, el total de ambos ¡es el mismo infinito!

Recapitulamos, que ese es un paso jodido de asimilar; da igual que haya menos o más números primos; puestos a exagerar las cosas y a imaginar cuántos podemos contar, hay tantos como números naturales, simplemente porque podemos convertir a los primos en números naturales (numerándolos y cogiendo su numerito correspondiente).

Pero esto no es siempre un desprecio para los naturales, que ven como partes de si mismos crecen hasta ser tan grandes como ellos mismos; siempre pueden resarcirse viendo que son tan grandes como conjuntos infinitamente mayores que ellos. Por ejemplo, los números enteros, que son igual que los naturales pero incluyen el cero y los negativos (si básicamente los naturales son enredar con el uno y la operación de la suma, entonces los enteros son usar también la resta. Como 1 - 1 = 0, estos sí incluyen al 0, que mucha gente no considera un número natural, yo incluido). Son el doble (todos los negativos) mas uno (el cero), pero los puedes contar a base de enteros. Por ejemplo contando el cero como el primer número, el 1 como el 2º, el -1 como el 3º, el 2 como el 4º, el -2 como el 5º, el 3 como el 6º, etcétera (y luego simplemente ocnsiderando el número del ordinal tenemos otra vez el truco que teníamos con los primos). O por poner un ejemplo mucho más bestia, los números racionales. Los racionales son los números que se tienen cuando divides un número natural por otro. Está claro que son infinitos porque contienen a los números naturales (como el número 1 es natural entonces 1/1 es racional y también 2/1 = 2, 3/1 = 3, etc), pero también contienen a 1/3, 874/5, 1/1132423456 y en fin, cualquier fracción que quieras escribir. Como puedes escribir los inversos de todos los números naturales y te van a salir números menores que 1 (1/2 = 0,5, 1/3 = 0,3333..., 1/4 = 0,25, etc) sólo entre 0 y 1 ya tienes infinitos racionales, es decir, tantos como enteros. Y eso puedes hacerlo también entre 1 y 2, entre 2 y 3, entre 1/4 y 1/5, entre 1/7845 y 23/1333... es decir, que entre dos racionales cualsquiera hay al menos tantos números como naturales (3). Pero resulta que los naturales son suficientes también para contarlos. Como los enteros son "tantos" como los naturales, aunque sean el doble mas uno (ser "tantos" significa lo que ya hemos visto, que se pueden contar como si fuesen naturales y sale el mismo infinito), así que vamos a contar sólo los racionales positivos. Como todos pueden escribirse como una fracción de dos enteros, los equiparamos a pares de enteros, es decir, el 1/2 lo representamos como el par (1, 2). El 76/811, como el par (76, 811), y así. Entonces podemos pintarlos en un plano, y empezar a contarlos por diagonales; el primero, el (1, 1), el segundo el (2, 1), el tercero el (1, 2), el cuarto el (3, 1), el quinto el (2, 2), el sexto el (1, 3), el séptimo el (4, 1) y así con todos, porque sí, podemos hacerlo con todos, así que al final, como los estamos numerando otra vez ¡hay los mismos!

Llegados aquí uno corre el peligro de emocionarse y pensar que los valientes naturales sirven para contar todo lo que es infinito. Pero no es así. Llegó Cantor y se puso a contar otros números y vio que no eran los suficientes, y lo hizo con la que resulta ser mi demostración favorita de toda la carrera, pero esa la dejo para otro día y como imagino que a estas alturas del mensaje ya no quedará nadie leyendo o porque por aburrimiento lo hayan dejado o porque se hayan quedado dormidos leyendo, por fin puedo contar lo que me está jodiendo hoy la noche. Tampoco es que sea nada original, ni que haya mucho que contar, la maldita ilusión de siempre, el ver un par de veces a una mujer, el empezar a pensar cosas raras, la puta ilusión de siempre... y el ver que no se llega a ninguna parte, que de pronto todo hace plop como una pompa de jabón que por bonita que sea y por mucho que brille y por mucho que nos guste mirarla siempre va a terminar haciendo plop y dejando manchitas de jabón por ahí, si es que el jabón, que limpia, deja manchas. ¿No deberían llamarse limpiezas, las manchas de jabón? En fin, la rutina de siempre, la historia de siempre con un protagonista habitual, experto, curtido en esto, otra muesca en el palo de mi escoba, otra costra en el alma, otro diente menos en la mandíbula mil veces rota de mi alegría. Ya, dramatizo. Ya, no es para tanto. Ya, no es la primera vez. Pero me apetece quejarme. Me apetece dramatizar. Cuando termine este párrafo me iré a fregar los platos, volveré para colgar la foto de esta noche, leeré el periódico, leeré un rato, veré una peli, me iré a dormir, seguiré mi vida tal y como era pero sin pompa de jabón. Así que tampoco creo que esté tan mal dramatizar un poco, ahora. Suspiro. Estoy suspirando mucho esta noche. No más que otras noches, pero sí más que cualquier noche habitual. Y mañana será menos, y al otro menos aún, y nada, a esperar a la siguiente pompa, con su brillo iridiscente, su volar tembloroso y errático, y su promesa implícita de nuevos suspiros.

Lo que no quita que ya que me he puesto a hablar de matemáticas vaya a terminar otro día con la demostración de Cantor de que los números reales no son numerables. Avisada quedas.





1. el problema es que en un mundo esférico como este (vale, no es esférico, pero podemos considerarlo como tal y el concepto sigue valiendo) el horizonte realmente existe; es esa circunferencia que forman los puntos a partir de los cuales por muy grande que fuese el telescopio que utilizásemos no podríamos ver el suelo, porque la propia tierra lo taparía; las cosas que quedan detrás del horizonte no se ven. Todo se arregla suponiendo que en vez de en un mundo esférico vivimos en un mundo plano (lo cuál, a pequeña escala, es cierto, porque las esferas son localmente como planos, por eso hacemos mapas planos y nos va bastante bien en el día a día), lo que tampoco es difícil de imaginar, al fin y al cabo.

2. es bien fácil y usa la forma más bella de razonamiento lógico, la reducción al absurdo: Se parte de una premisa, se usa un rato la lógica, se llega a una conclusión falsa, y como la lógica es sólida como nada en el mundo, entonces la premisa está mal. La premisa es suponer que los números primos son finitos, es decir, que hay una cantidad concreta de ellos. Entonces, como los números, cuando se suman y se multiplican entre ellos dan siempre otros números (porque nunca podemos llegar a nuestro horizonte de números, el infinito), entonces los multiplicamos todos entre ellos y sumamos al número que nos da uno entonces ese número no puede dividirse por ninguno de esos números primos, por lo mismo que 7 = 3 x 2 + 1 no puede dividirse ni por 2 ni por 3 (hablamos de números naturales, es decir, enteros, sin decimales)

3. no me voy a poner a probarlo... ¿me vas a hacer probarlo?... imagina que tienes dos racionales n/m y s/k, y que s/k es más grande que n/m (si no, pues les cambiamos los nombres y listo. Ah, y n/m y s/k tienen que ser distintos, porque obviamente entre un número y ese mismo número no hay mucho donde elegir y esto no sería divertido. A esos casos los matemáticos los llamamos triviales o degenerados), y un montón de números entre ellos. Entonces puedes coger cualquier conjunto de números racionales entre 0 y 1 y, como multiplicando y sumando racionales se obtienen más racionales, sumarle n/m y multiplicarlo por 1/(s/k - n/m) y tachaaán, tienes un conjunto embutido entre n/m y s/k; como entre 0 y 1 ya hay conjuntos con tantos elementos como números naturales, entonces entre cualquier, CUALQUIER par de números naturales hay tantos elementos como números naturales... por lo menos. De hecho hay tantos como números racionales, porque igual que hemos partido de 0 y 1 podríamos haber partido de dos números racionales distintos.

15 comentarios:

  1. Yo me lo he leído! Yo! Aunque la verdad es que - quizá te moleste leerlo-, encuentro más interesante este tipo de entradas que aquellas en las que cuentas tu miserable vida :D

    Aunque todo eso lo supiera ya, que aunque no soy matemático más de una asignatura relacionada he tenido.

    Los números reales qué? No has dicho nada sobre ellos o me he saltado alguna linea? te has limitado a conjuntos que sí establecen una biyección con los naturales. Cuéntalo todo, no sólo la parte bonita! Los reales tienen una cardinalidad distinta a la de los naturales, creo recordar, no?

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  2. Hombre, como no quería que existiese otra biyección, o casi, entre las líneas de este mensaje y los naturales, decidí cortar ahí... pero no sé yo hasta dónde habrás leído porque respecto a los naturales y tal, decía esto en algún punto, ejem:

    "Llegados aquí uno corre el peligro de emocionarse y pensar que los valientes naturales sirven para contar todo lo que es infinito. Pero no es así. Llegó Cantor y se puso a contar otros números y vio que no eran los suficientes, y lo hizo con la que resulta ser mi demostración favorita de toda la carrera, pero esa la dejo para otro día".

    Así que esa parte otro día, tranquilo :P

    Yo también veo esto más interesante que mi puñetera vida, la verdad, así que cómo voy a ofenderme.

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  3. Ya que estamos con las demostraciones, a ver si me explicas donde está la trampa de ésto:

    1.- x^2 - x^2 = x^2 - x^2 ;
    2.- x^2 - x^2 + x^2 + x^2 = x^2 - x^2 ;
    3.- (x + x)(x - x) = x(x - x) ;
    4.- (x + x)((x - x)/(x - x)) = x((x - x)/(x - x)) ;
    5.- (x + x) = x ;
    6.- 2x = x ;
    7.- 2 = 1;

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  4. error: en el paso 2 deberia poner esto:
    2.- x^2 - x^2 + x^2 - x^2 = x^2 - x^2 ;

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  5. Joder chico, ¡¡¡pero qué haces dividiendo por (x - x) hombre!!!

    No se puede dividir por cero, llegas a un resultado absurdo porque haces un paso absurdo, no hay trampa, hay error.

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  6. No, ya, si me he dado cuenta y he ido a postearlo y justo te me has adelantado. El error lo he tenido al ver (x-x) como una abstracción, un 'algo', no como un número. Y claro, algo entre algo = 1 (a no ser que algo=0).

    y lo de 0'9 periodico = 1 qué? Llevo una mañana de productividad en el curro con estas cosas...

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  7. ¿Cuál es el problema con el 0'9999999999... = 1 ?

    Simplemente son dos formas de escribir el mismo número.

    Pero veeenga, vamos a ponernos serios y a probarlo.

    Entre dos números reales x e y siempre es trivial encontrar un número real que esté en medio, por ejemplo z = (x + y)/2.

    Si x = y entonces z = x = y. Eso es un sí y sólo sí, porque si z = x entonces z = (z + y)/2 => z/2 = y/2

    Entonces ya podemos escribirlo en plan bien:

    Teorema: Sea x = 0'99999... (o sea, 0'9 periodo, o sea 0'9 y luego una cantidad infinita de nueves) e y = 1, entonces x = y.

    Demostración: supongamos que no lo es, entonces existe un número z tal que x < z < y (en particular los tres números son distintos). Pero calculándo z,

    z = (0'99999... + 1)/2 = (1'999999...)/2 = 0'99999... = x, lo que contradice que x < z, y por lo tanto no existe ese número entre x e y.

    Luego x e y son el mismo número.

    ¿Contento? :P

    Otra forma mucho más corta y menos sádica es restarlos;

    1 - 0'9999... = 0'000... y como eso tendría infinitos ceros en fila ES cero.

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  8. Hostias, te me has adelantao por un puto pelo.
    Bueno, pongo el enlace de todas formas:
    http://gaussianos.com/igualdad-extrana/

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  9. Me quedo con mi demostración, es mucho más bestia :D

    (pero me apunto esa, mucho más corta y mucho más directa)

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  10. La entrada de la wikipedia intercala 3 demostraciones 'facilonas' con una más sesuda:

    http://es.wikipedia.org/wiki/0%2C9_peri%C3%B3dico

    Va, ahora lo de 2+2=5 :D

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  11. Lo que no entiendo es por qué pone la mía como no rigurosa. No lo es si la pones y no la demuestras, pero coñe, es totalmente rigurosa ò_ó

    La que ponen ellos no me gusta, vale, muy bonita y tal, pero es de tipo coñazo ahí con series y ahí venga a sumarlas y a hacer límites, qué ganas de sudar para nada.

    ¿Y qué es eso de 2 + 2 = 5 aparte de un error, si no dices nada más?

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  12. La wikipedia tiene sus cosillas, tampoco hay que creerselo todo al 100%

    Nada, lo de 2+2=5 creía que era una cosa más conocida. Quizá lo sea para los informáticos más que para los matemáticos, por la alegría con la que un procesador trunca datos para que quepan en memoria, puesto que esta tontuna tiene más que ver con el error de representación numérico que con otra cosa.

    Si a = 2'444444444444..., y el ordenador redondea al entero más cercano, a = 2;
    Pero también si a + a = 4'8888888... el ordenador redondea a 5, que es más cercano que 4.

    Parece y es una gilipollez, claro.

    Aún así, aquí hay una anecdota graciosa con ésto del 2+2=5: http://curiosoperoinutil.blogspot.com/2006/01/bertrand-russell-y-la-lgica.html

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  13. Que sepáis que si esta tarde me estalla la cabeza he dejado una copia de todo esto encima de mi mesa para que os demanden. Os vais a cagar.

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  14. Perro, qué buena la anécdota, ja ja.

    Y Myrddyn, amenazas las justas. ¡Culturízate, hombre! ¡El conocimiento mola!

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Hola, me llamo David, tengo un blog, me gusta la música que no le gusta a nadie y las películas de Clint Eastwood, aborrezco las fotos de anocheceres y cada vez más libros. Escribo bobadas, sin pensarlas mucho, y cuentos del oeste que, que no cunda el pánico, no cuelgo aquí.