18.11.08

la semana de ciencia: 2, la música troceada de Pitágoras al lobo

Iba a ir con el post que habla del matemático cuyos trabajos todos, sí, tú también, habéis oído, pero me ha quedado un poco largo así que hoy cuento la primera mitad.

¡Y toca hablar de música!, y remitirnos a Pitágoras, que aparte de detestar a los irracionales y de cuadrar triángulos rectángulos hizo más cosas.

Si nos preguntamos por qué nos gusta la música y no el ruido, es decir, por qué podemos tararear una cancioncilla tan felices y aborrecer al vecino que se pone a dar martillazos a una pared, esto es porque el ser humano está adiestrado para reconocer patrones, y el ruido no tiende a seguirlo. La diferencia entre un martilleo y una canción es que la segunda tiene una estructura, un ritmo y una armonía, mientras que el ruido no tiene nada de eso (y cuando tiene algo, cuando el ruido es armónico, o regular, o sigue alguna pauta reconocible, entonces se vuelve más tolerable). Todo esto sucede porque por lo visto tenemos osciloscopios incrustados en el oído interno.

Para llegar hasta él, como decía, hay que rebobinar un tanto la cinta, hasta Pitágoras y su alegre pandilla.

De todos es conocido, supongo, que Pitágoras era un friqui de las matemáticas, que alrededor de estos montó una secta que abobinaba de las habas, y que veía los números y sus relaciones por todas partes.

Además, a los pitagóricos les debía gustar la música, así que se pusieron a buscar números y relaciones en ella.

Los antiguos griegos, como nosotros (más bien nosotros, como los antiguos griegos) dividían las notas musicales en escalas que a su vez subdividían en 12 semitonos; do, do sostenido (abreviado do#), mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la# y si, después del cuál iría el do de la siguiente escala. Hasta aquí tenemos lo que se da en el colegio en solfeo y no se ven matemáticas por ninguna parte. Pero aparecen a la que uno da el siguiente paso y se pregunta ¿y cómo se relacionan las notas entre sí?

Lo primero que vieron los antiguos teóricos musicales fue que cuando uno, en un instrumento, tocaba un do en una escala y otro do en la siguiente, aquello sonaba bien. A día de hoy sabemos que esto es porque la frecuencia de la nota (la longitud de la onda sonora que esta genera en el aire, que de hecho constituye su sonido) es la mitad exacta en el do de la escala superior. Esto hace que mientras la onda del do más grave tiene tiempo para hace su sube y baja una vez, a la otra le ha dado tiempo a hacerlo dos veces. Por alguna razón, esa coincidencia le resulta grata a nuestro oído. Pero a nuestro oído también le gustan otras coincidencias más enrevesadas. Vieron los griegos que cuando suenan dos notas que están separadas por siete semitonos, también nos gusta. A esto se le llama una quinta (si parece raro que al tomar 7 divisiones de algo nos salga algo relacionado con un 5, siempre se puede pensar que eso es porque las quintas, al andar brincando por notas normales y sostenidas, abarcan 5 notas con sus siete pasos, a no ser que uno empiece a contar por el sí), y su efecto estético puede escucharse por ejemplo en la legendaria Also Sprach Zarathustra de Richard Strauss. ¿Y por qué nos gusta? Porque resulta que la frecuencia de la nota más aguda es 3/2 de la de la nota más grave (o sea, que su longitud de onda es de 2/3 de la otra; cuando la onda de la nota grave ha hecho dos ciclos, a la nota aguda le ha dado el tiempo justo a hacer 3). Y a nuestro oído, en serio, le encantan las coincidencias. En función de esto y como a los pitagóricos les encantaba andar con fracciones y a cada número le daban su sentido, se dijeron pues ya está, a multiplicar las cosas para que cuando cojas las 12 notas, contando las 7 de la escala y las 5 sostenidas, salgan sus quintas con 3/2 de la frecuencia de la nota original. El asunto les encantó porque resulta que todo podía conseguirse multiplicando y dividiendo por doses y treses, y les quedó algo así:

DO

DO#

RE

RE#

MI

FA

FA#

SOL

SOL#

LA

LA#

SI

1

256/243

9/8

32/27

81/64

4/3

729/512

3/2

128/81

27/16

16/9

243/128

(y a la derecha de esa tabla iría otra que empezaría con el 2, y cuyos numeradores serían el doble de los de esta, y luego otra con el 4, y así sucesivamente)

Esto significa que si una cuerda de un instrumento tiene que vibrar con longitud 1 para producir el do,  el do sostenido se hará con una cuerda igual de longitud 15/16 que vibrará con una frecuencia 16/15 mayor, el re con una cuerda de longitud 8/9 que vibrará con una frecuencia 9/8 mayor, etcétera. Se puede ver que cogiendo cualquiera y yendo siete columnas más allá, el numerito que tiene es el original multiplicado por 3/2, por ejemplo partiendo del RE#, (32/27)·(3/2) = 96/54 = 16/9 que es precisamente lo que pone en LA#. Todas las quintas encajaban, para inmenso jolgorio de Pitágoras y compañía.

Pero había un problema, y es que cuando se avanza así doce quintas perfectas (12 quintas x 7 semitonos cada una = 84 semitonos) deberían tenerse exactamente sietes octavas perfectas (7 octavas x 12 semitonos = 84 semitonos), pero las cuentas no salen; al avanzar de quinta a quinta estamos multiplicando todo el rato por 3/2, es decir que por un lado avanzamos (3/2)12, pero por el otro con cada octava lo que hacemos es doblar la frecuencia, así que al subir 7 octavas estamos multiplicando por 27, y esos dos números no son lo mismo. Casi, pero no. La diferencia que sobra se llama una coma pitagórica, y es un incordio cuando uno tiene que afinar un teclado, porque en nuestra concepción de la música esas 12 quintas y las siete octavas son tratadas como el mismo intervalo. Pero estuvo en uso durante toda la Edad Media y durante el Renacimiento.

Durante el siglo XVI alguien ya no pudo soportar más esa dualidad y decidió que si se le robaba a cada quinta un cuarto de la coma pitagórica se obtendrían notas que tendrían terceras mayores, que son notas con una relación de frecuencias de 5/4, que por ser una fracción también racional y también sencillita también nos suena bien. Presentaba la ventaja de que ahora más notas juntas sonaban bien, y el destrozo que se le hacía a las quintas, al no ser muy grande, tampoco se notaba mucho. Esto presentó otro problema, porque las cuentas, esta vez, tampoco salían, y se podía ir restando más o menos bien un trocito de las once primeras quintas, pero en la última el sonido quedaba tan fuera de lugar que se la conoce como la quinta del lobo; supongo que les recordaría al aullido de uno.

Y esto es todo por hoy que está quedando largo. Mañana cuento cómo ese matemático que todos conocemos luchó contra el lobo y le dio para el pelo.

 

1 comentario:

  1. avíseme de cómo y cuándo llegan ustedes los muchachos y veremos qué se puede hacer!

    Abrazos

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Hola, me llamo David, tengo un blog, me gusta la música que no le gusta a nadie y las películas de Clint Eastwood, aborrezco las fotos de anocheceres y cada vez más libros. Escribo bobadas, sin pensarlas mucho, y cuentos del oeste que, que no cunda el pánico, no cuelgo aquí.