Infinito talla M e infinito talla XL

Lo siento pero ya que quedaba este fleco en lo que escribí el otro día sobre ponerse a contar infinitos habrá que terminar aunque sólo sea por coherencia... y qué coño, por contar cuál es mi demostración favorita.

La idea del otro día era que a base de contar las cosas en plan salvaje se puede ver que hay conjuntos infinitos que aunque tengan menos (o más) elementos que otros conjuntos infinitos, "a la larga", o sea, mirándolos en conjunto, es como si tuviesen los mismos elementos, porque podemos terminar contando esos elementos, numerándolos y pudiendo contarlos así como si fuesen números naturales, y viendo que ese infinito que tienen por cardinal es el mismo.

Y quedaba el problema de ver si a cualquier conjunto infinito se le puede hacer eso. ¿Por qué no?, al fin y al cabo estamos usando un número que, ya dije, no es un número, es un concepto, y en el que cabe cualquier cosa... o casi. Y al fin y al cabo ya hemos contado conjuntos mucho más grandes que el de los números naturales y nos ha terminado dando el mismo infinito. Pues resulta que no, que hay otros números que son infinitos pero que son más infinitos, porque ni con infinitos cardenales podríamos contarlos. Esos números son los que se conocen como los números reales.

Definir lo que son los números reales es bastante más complicado que definir qué son los naturales, los enteros o los racionales, aunque podríamos decirlo así, los reales es lo que tenemos cuando cogemos los racionales e incluímos todos los demás números que no pueden expresarse como una fracción. O sea, volvemos a tener al 1, volvemos a tener al 27/823, pero tenemos también otros como raíz de dos, pi, e, 0'1010010001000100001...

Normalmente los números se representan en una recta en la que se van marcando. La de los naturales es sencillita de hacer, serían una serie de valores representando dónde cae el 1, el 2 y demás. La de los racionales es más complicado por eso de que siempre puedes encontrar otro racional entre dos racionales cualquiera, así que nunca terminarás de hacer marquitas incluso en un intervalo pequeño, si quieres apuntarlos todos. Pero no llegan a cubrir todos los puntos de la recta. Bueno, pues los reales sí. Los reales son cualquier cosa.

En fin, como los racionales son reales también, está claro que son infinitos, así que podríamos dividir los reales en dos clases, los que están en los racionales y los que no. El otro día ya te conté que los racionales son numerables, pero ¿qué pasa cuando los contamos todos? Pues que se vuelven no numerables; hay demasiados para ponerse a ponerles pegatinas, tantísimos que ni con las infinitas pegatinas que podríamos hacer a base de números naturales tendríamos suficientes. La demostración es de Georg Cantor y, otra vez, es por reducción al absurdo. Cantor dijo vale, supongamos que son numerables, entonces podríamos contar, por ejemplo, cuántos números reales hay entre 0 y 1. Y si pudiésemos contarlos, podríamos numerarlos, es decir, colocarlos en una fila y darles un número a cada uno. El orden en que los cojamos da igual, así que por ejemplo podríamos hacer así nuestra lista (y ojo con estos números porque los números reales que no son racionales tienen infinitos decimales cada uno),

1º -> 0,913412435...
2º -> 0,013332152...
3º -> 0,235034860...
4º -> 0,235111415...
5º -> 0,712375002...
6º -> 0,142305349...
7º -> 0,346254724...
8º -> 0,034860730...
9º -> 0,723500235...

Etcétera etcétera. Y entonces, si fuesen numerables, esa lista, si fuese infinita, debería contener a todos los números reales entre 0 y 1. Pero consideremos, se dijo Cantor, la diagonal de esa lista,

1º -> 0,913412435...
2º -> 0,013332152...
3º -> 0,235034860...
4º -> 0,235111415...
5º -> 0,712375002...
6º -> 0,142305349...
7º -> 0,346254724...
8º -> 0,034860730...
9º -> 0,723500235...

Y pensemos en el número formado por los elementos de esa diagonal, 0,915175735... Como es entero y está entre cero y uno, debe estar en la lista, pero también es entero entre cero y uno un número que sea igual que ese añadiéndole 1 a cada dígito suyo (o cambiándolo por 0 si el dígito es un 9), o sea, este, 0,026286846... nos sale otro número que también debería estar en la lista ¡pero hahahahá, no puede estar!, porque es distinto al primer número de la lista en la primera cifra, al segundo en la 2ª, al tercero en la 3ª, etcétera. Luego hay números que nunca podríamos poner en esa lista, así que la los números reales no se pueden contar. Por eso se dice que son no numerables. Y por eso su cardinal, pese a que se resuma como infinito, es bestialmente mayor que el de los números naturales.

Lo que esto implica es que la inmensa mayoría de números reales son irracionales (que es como se llama no a los que no rigen, claro, sino a los que no son racionales. ¿No es bonita la alegría con la que nos metemos con la salud mental de conceptos como los pobres números los matemáticos, sólo por llamarlos de alguna manera?), es decir, que si en la recta real, donde los representamos a todos, elegimos uno al azar, la probabilidad de que salga un irracional ¡es del 100%!

Naturalmente esto a nosotros nunca nos pasa porque primero definimos qué eran los reales con esa alegría imprudente y temeraria que tenemos y luego vimos que habíamos creado una colección de monstruos inabarcable. Se supone que se llaman números reales porque representan cualquier número que uno pueda encontrarse en la vida, por ejemplo si te dedicas al negocio de los palitos puedes tener un palito que mida 1 unidad de longitud (la que sea), pero también puedes hacer palitos de lontigud raiz de dos, a base de hacer un cuadrado con los palitos unidad y hacer uno que mida lo que la diagonal del cuadrado. O si te dedicas a los cordeles puedes hacer un círculo de cordel que mida pi cordelitos unidad (por eso pi y raíz de dos y compañía, pese a ser potencialmente terroríficos por ser irracionales se dejan tratar con simpatía porque son lo que se llama números construibles). Pero puestos a inventarnos números los reales en seguida nos vienen grandes, por ejemplo uno no puede manejar un número real con el ordenador. Si es irracional, tendrá infinitos decimales, y ningún ordenador tiene espacio infinito para guardar sus decimales ni memoria para tratar con algo así. Podemos jugar con partes de ellos (por ejemplo aquí te dejan buscar cadenas de dígitos entre los primeros 200 millones de decimales de pi), podemos crear procedimientos que nos permitan buscar todos los decimales que consideremos necesarios... pero todo serán pasitos tontos que damos hasta hartarnos o considerar suficiente el camino recorrido, exactamente como les pasaba a los matemáticos primigenios cuando contaban piedrecitas, estrellas o lo que fuese y comenzaban el viaje hacia el infinito. O los infinitos.

Como curiosidad, el segundo infinito, el gordo, es dos elevado al primero, y a quien sepa decirme por qué le regalo una piruleta.

Ahí queda. Y ya dejo de darte la lata con las mates por una temporadita, palabra de niño bueno.

Y pese al éxito cosechado con el mensaje anterior sobre infinitos como continente perfecto para enmascarar cosas sin que nadie las lea, en este no pongo nada. Así que si alguien lo leyó y ha hecho lo propio con este esperando una confidencia, pues bueno, mil perdones, se siente.